好，咱们把视线从直线 MN 上两点之间的最短路给放下，先来说说这题怎么变了。原来 A、B 两点分别在 MN 的两边，直觉上大家都会觉得线段 AB 是最短的。不过这种纯点对点的解法也有局限性。现在题目变了，是要从 A 点出发，先到 MN 上某个地方歇歇脚，再去 B 点。这下可好了，答案就不是唯一的了。 下面这两道例题，正好把“点对点”变成了“点线点”的难题。第一道题是找 MN 上的点 C，让 AC 变得最短。这就简单了，按照垂线段最短的道理，直接过 A 作 MN 的垂线。因为不管是 AD、AE 还是 AF 这些跟 MN 斜着走的线段，都没有 AC 短。所以这个垂足 C 就是 MN 上离 A 最近的那个点。 第二道题稍微复杂点，要找 MN 上的点 D，让 AD 加上 BD 的总长度最短。这里面有个道理：两点之间线段最短，而且这个中转站得同时离两边都近才行。我先过 B 点作 BD 垂直于 MN 到了 D₁，又把 AD₁ 也垂直下来到了 D₂。要是运气好的话，D₁ 和 D₂ 刚好重合了，这时候 AD 加 BD 就是最小的。 证明的话也不难假设一下。如果 D₁ 和 D₂ 不一样高，咱们把 BD 平移到跟 AD 一边去，虽然长度没变，但这中间绕的路变多了，跟“最短”这个要求就矛盾了。所以一定得让两个垂足在同一个点上。 接下来看码头、铁路还有河流这种立体的最短路径问题。铁路 a 就是水平线，河流 b 是竖直线。从 A 出发先把铁路垂直投到河流上去找 C 点，这时候 AC 就是火车站到码头最短的路了。因为不管怎么走弯儿，横纵坐标加起来都会比这长。 再看码头到铁路该怎么走。把码头看成点 B，铁路看成跟河流平行的线 b'。在河流上随便选个 D 点，过 D 作垂直于 b' 的线跟铁路 a 相交于 C。你会发现 CD 就是码头到铁路最短的距离，跟刚才那题的思路一模一样。 火车站要到河流的话就得先找最近的河岸。随便在铁路 a 上找个 E 点，过 E 作垂线到河流 b 得到 F 点。把 EF 这条线连上和铁路 a 相交的点 G 就是最近的。道理跟前面一样：如果 G 不是 E 的话把 EF 平移一下长度不变但路程变远了。 总结一下隐藏的规则吧：垂线段最短是个基础原理。不过别忘了中转站必须要同时靠近两边的两个点才行。平行线之间的垂线段最短这个办法把二维问题扩展到了三维空间里。先找个中转站再算总路程这招是解决“点线点”问题的万能套路。只要掌握了这三点，再复杂的折线最短问题也能拆成简单的小几何题来解。